まえがき
媒質境界(空気からガラスやガラスから水のような)に入射する電磁波は境界面で反射・屈折・透過を生じることはよく知られていることである。ここでは、電磁波の反射・屈折・透過についてその振る舞いをマクスウェル方程式から導く。また、重要な性質であるスネルの法則、全反射の条件、ブリュースター角について説明する。
境界条件
そのうち書くよ。の予定だけど、別のページに作るかもしれん。
解析条件
図に示すように無損失( \(\sigma=0\) )で性質(屈折率)の異なる媒質の境界面に平面波が入射するものとする。入射、反射、透過のそれぞれの波を表す波数ベクトルは \(\vec{k_p}\) ( \(p\) は \(i\) 、 \(r\) 、 \(t\)であり、入射、反射、透過を示す。)と示す。 \(\theta_p\) は境界面の法線と波数ベクトルの間の角度である。
計算に移る前に偏光について場合分けをしておく。マクスウェルの方程式から、電界と磁界が直交することは既知である。媒質境界への入射では2つの場合分けを考える。ここでは電界に着目する。1つ目の場合は電界が入射面と垂直に入射する場合(図描く)で、2つ目の場合は磁界が入射面と垂直に入射する場合(図描く)である。
電界が入射面に対して垂直な場合 (電界がx軸方向に振動)
電界、磁界、波数のそれぞれの成分は以下のように表される。
\[\begin{align*} \vec{E_i} &= \left(E_{ix}, 0, 0\right) & \vec{E_r} &= \left(E_{rx}, 0, 0\right) & \vec{E_t} &= \left(E_{tx}, 0, 0\right) \\ \vec{H_i} &= \left(0, H_{iy}, H_{iz}\right) & \vec{H_r} &= \left(0, H_{ry}, H_{rz}\right) & \vec{H_t} &= \left(0, H_{ty}, H_{tz}\right) \\ \vec{k_i} &= \left(0, k_{iy}, k_{iz}\right) & \vec{k_r} &= \left(0, k_{ry}, k_{rz}\right) & \vec{H_t} &= \left(0, k_{ty}, k_{tz}\right) \\ \end{align*}\]上記の式から電界を \(x\) 軸の正の方向にとった時、 \(\vec{H}\) と \(\vec{k}\) の方向は一意に決定される。これを図に示したものが図 である。
これらを考慮して時間項を省略すると、電界 \(\vec{E}\) と磁界 \(\vec{H}\) は次のように、
\[\begin{align*} \vec{E_p} &= E_{px}\vec{e_x} \exp \left\{ -j \left( k_{py}y + k_{pz}z \right) \right\} \\ \vec{H_p} &= \left( H_{py}\vec{e_y} + H_{pz}\vec{e_z} \right) \exp \left\{ -j \left( k_{py}y + k_{pz}z \right) \right\} \\ \end{align*}\]と表される。ただし、 \(\vec{e_x}\) 、 \(\vec{e_y}\) 、 \(\vec{e_z}\) は空間の基底ベクトルであり、 \(p=(i, r, t)\) である。
磁界 \(\vec{H_p}\) 、波数ベクトル \(\vec{k_p}\) を各成分に分解すると以下のようになる。
\[\begin{align*} H_{iy} &= H_i \sin\theta_i & H_{ty} &= H_t \sin\theta_t & H_{ry} &= \sin\theta_r \\ H_{iz} &= H_i \cos\theta_i & H_{tz} &= H_t \cos\theta_t & H_{rz} &= \cos\theta_r \\ k_{iy} &= k_i \cos\theta_i & k_{ty} &= k_t \cos\theta_t & k_{ry} &= \cos\theta_r \\ k_{iz} &= k_i \sin\theta_i & k_{tz} &= k_t \sin\theta_t & k_{rz} &= \sin\theta_r \end{align*}\]次に \(y=0\) (媒質の境界面)における境界条件を考える。境界条件は次の2つの性質を満たすとする。
- 媒質1、2ともに完全導体ではない。(＝表面電流は流れない)
- 電界と磁界の接線成分は連続する。(微分可能)
この2つの条件から任意の \(z\) について次の2式が成立する。
\[\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &E_i\exp\left(-jk_{iz}z\right) + E_r\exp\left(-jk_{rz}z\right) = E_t\exp\left(-jk_{tz}z\right)\\ &H_{iz}\exp\left(-jk_{iz}z\right) + H_{rz}\exp\left(-jk_{rz}z\right) = H_{tz}\exp\left(-jk_{tz}z\right) \end{aligned} \right. \end{equation*}\]この式が成り立つためには、任意の \(z\) で位相項が等しくなければならない。したがって、
\[\begin{equation*} k_{iz} = k_{rz} = k_{tz} \end{equation*}\]を満たす必要がある。つまり以下の条件が導き出される。
\[\begin{equation*} k_i\sin\theta_i = k_r\sin\theta_r = k_t\sin\theta_t \end{equation*}\]媒質境界上の任意の \(z\) において上記の条件が常に満たされている。この条件から反射の法則とスネルの法則を導き出すことができる。
反射の法則
反射の法則とは、
波が媒質境界に入射するとき、入射角と反射角は等しくなる。
というものである。つまり、 \(\theta_i\) と \(\theta_r\) が等しくなるということである。この法則を前述の条件から導いてみる。
少し離れて波数 \(k\) について考えてみる。波数 \(k\) は、
\[\begin{equation*} k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{equation*}\]なことを思い出してみる。ここで \(\lambda\) は波長である。同時に周波数 \(f\) と光速 \(c\) と波長 \(\lambda\) は \(f=\frac{c}{\lambda}\) の関係があり、 \(\omega=2\pi f\) であるから、
\[\begin{equation*} f=\frac{\omega}{2\pi} \end{equation*}\]である。これより、波数 \(k\) は、
\[\begin{equation*} k = \frac{2\pi}{\frac{c}{f}} = \frac{2pi}{\frac{c}{\frac{\omega}{2\pi}}} = \frac{2\pi\frac{\omega}{2\pi}}{c} = \frac{\omega}{c} \end{equation*}\]と表される。媒質の光速 \(c\) は、
\[\begin{equation*} c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon_r\mu_0\mu_r}} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}}c_0 \end{equation*}\]と表される。ただし、\(\varepsilon_r\) 、 \(\mu_r\) は媒質の比誘電率と比透磁率、\(\varepsilon_0\) と \(\mu_0\) は真空中の誘電率と透磁率、 \(c_0\) は真空中の光速である。屈折率 \(n\) の媒質では、光速は \(\frac{1}{n}\) になるから屈折率は、
\[\begin{equation*} n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \end{equation*}\]と表される。
さて、ここからスネルの法則を導いていく。 入射波 \(k_i\) と反射波 \(k_r\) の誘電率を \(\varepsilon_1\) 透磁率を \(\mu_1\) とすると、 \(k_i\) と \(k_r\) は、
\[\begin{equation*} k_i = k_r = \frac{\omega}{c} = \omega\sqrt{\varepsilon_1\mu_1} \end{equation*}\]となる。これを前述の条件、
\[\begin{equation*} k_i\sin\theta_i = k_r\sin\theta_r \end{equation*}\]に代入すると、
\[\begin{equation*} \omega\sqrt{\varepsilon_1\mu_1} \sin\theta_i = \omega\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\sin\theta_r \end{equation*}\]となる。これを満たす \(\theta_i\) と \(\theta_r\) は、
\[\begin{equation*} \theta_i = \theta_r \end{equation*}\]だけなので、媒質の境界面では電磁波の反射が生じるとき、その入射角 \(\theta_i\) と反射角 \(\theta_r\) は等しくなる。
スネルの法則
次に屈折角について見ていく。透過した波 \(k_t\) の通過する媒質の誘電率を \(\varepsilon_2\) 、透磁率を \(\mu_2\) とすると、
\[\begin{equation*} k_t = \omega\sqrt{\varepsilon_2\mu_2} \end{equation*}\]と表現される。
屈折率 \(n\) を真空中の光速 \(c_0\) と媒質中の光速 \(v\) の比として定義すると、
\[\begin{equation} n = \frac{v}{c_0} = \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \end{equation}\]となる。これを前述の条件に当てはめるとこれから、
\[\begin{align} &k_i\sin\theta_i = k_t\sin\theta_t \\ &n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t \\ &\frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin\theta_t}{\sin\theta_i} \end{align}\]となり、スネルの法則を導くことができる。
透過率と反射率
電界と磁界は、
\[\begin{equation*} \lVert H \rVert = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\lVert E \rVert \end{equation*}\]の関係になることを思い出してみる。これを使って入射波、反射波、透過波はそれぞれ、
\[\begin{equation*} H_i = \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}E_i\;, H_r = \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}E_r\;, H_t = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}E_t \end{equation*}\]のように表される。境界条件から、
\[\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} &E_i + E_r = E_t \\ &H_i\sin\theta_i + H_r\sin\theta_r = H_t\sin\theta_t \\ -&H_i\cos\theta_i + H_r\cos\theta_r = -H_t\sin\theta_t \end{aligned} \right. \end{equation*}\]の関係があるので、角度に関して \(\theta_i = \theta_r = \theta_1\) 、 \(\theta_t = \theta_2\) と置くと、磁界の関係は、
\[\begin{equation*} \left(H_i-H_r\right)\cos\theta_1 = H_t\cos\theta_2 \end{equation*}\]と表現できる。これに電界と磁界の関係を代入することで、
\[\begin{equation*} \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}\left(E_i-E_r\right)\cos\theta_1 = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}\cos\theta_2 \end{equation*}\]が得られる。一般の材料を考えると、 \(\mu_1 = \mu2 = 1\) であると考えられるので係数は屈折率を用いて以下のように表される。、
\[\begin{align} &\sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}} = \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{1}} = \sqrt{\varepsilon_1} = n_1 \\ &\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{2}} = \sqrt{\varepsilon_2} = n_2 \end{align}\]これを代入すると、
\[\begin{equation*} \left(E_i - E_r\right)n_1\cos\theta_1 = E_t n_2\cos\theta_2 \end{equation*}\]となる。 境界条件から\(E_r = E_t-E_i\) なので代入すると、
\[\begin{equation*} \left(2E_i-E_t\right)n_1\cos\theta_1 = E_t n_2 \cos\theta_2 \end{equation*}\]となる。 \(E_i\) と \(E_t\) のみの式になったので、透過率 \(t_{\perp}\) は、
\[\begin{equation*} t_{\perp} = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2n_1\cos\theta_1}{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2} \end{equation*}\]のように求められる。
同様の手順で反射率 \(r_{\perp}\) も求めてみる。反射率は電界に関する境界条件 \(E_t=E_i+E_r\) を代入することで以下のように求まる。
\[\begin{align} &\left(E_i - E_r\right)n_1 \cos\theta_1 = \left(E_i+E_r\right)n_2 \cos\theta_2 \\ &E_i\left(n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2\right) = E_r\left(n_2\cos\theta_2 + n_1\cos\theta_1\right) \\ &r_{\perp} = \frac{E_r}{E_i} = \frac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_2 + n_1\cos\theta_1} \end{align}\]このように電界が入射面に対して垂直な場合について解き、そこから反射の法則、スネルの法則、透過率と反射率を求めることができた。次に磁界が入射面に対して垂直の場合についても見ていく。
磁界が入射面に対して垂直な場合 (磁界がx軸方向に振動)
詳細な導出はそのうち書くよ。
透過率 \(t_{\parallel}\) と反射率 \(r_{\parallel}\) は、
\[\begin{align*} t_{\parallel} = \frac{2n_1\cos\theta_1}{n_2\cos\theta_1+n2\cos\theta_1} \\ r_{\parallel} = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2} \end{align*}\]ブリュースター角の導出
ブリュースター角とは反射が0になる(完全に透過)する角度のことである。このような条件は磁界が入射面に対して垂直な場合のみ表れる。このような条件について今から導出していく。磁界が入射面に垂直な場合の反射率 \(r_{\parallel}\) は、
\[\begin{equation*} r_{\parallel} = \frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2} \end{equation*}\]のようになる。このとき分子がゼロ、もしくは分母が無限大のときに反射がゼロになる。この条件を満たすような入射角 \(\theta_1\) を求めていく。
まずスネルの法則から、
\[\begin{equation*} n_1 = \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}n_2 \end{equation*}\]となる。これを \(r_{\parallel}\) に代入すると、
\[\begin{align*} r_{\parallel} = \frac{\cos\theta_1\sin\theta_1-\sin\theta_2\cos\theta2}{\sin\theta_1\cos\theta1+\sin\theta_2\cos\theta_2} \end{align*}\]となる。以下省略。そのうち書く。
したがって、
\[\begin{equation*} r_{\parallel} = \frac{\tan\left(\theta_1-\theta_2\right)}{\tan\left(\theta_1+\theta_2\right)} \end{equation*}\]が得られる。 \(r_{\parallel} = 0\) になるには、 \(\tan\left(\theta_1-\theta_2\right) = 0\) か、 \(\tan\left(\theta_1+\theta_2\right) \to \infty\) のどちらかとなる必要がある。
2つのうち \(\tan\left(\theta_1-\theta_2\right) = 0\) から見ていくと、これを満たすには \(\theta_1 - \theta_2\) は0か \(\pi\) でなければならず、今回の条件には該当しない。
次に \(\tan\left(\theta_1+\theta_2\right) \to \infty\) について見ていく。 \(\tan\alpha \to \infty\) となる \(\alpha\) は \(\frac{\pi}{2}\) であるから、
\[\begin{equation*} \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2} \end{equation*}\]が反射が0となる条件となる。 \(\theta_2 = \frac{\pi}{2} - \theta_1\) に変形して、スネルの法則に代入すると、
\[\begin{align*} n_1\sin\theta_1 &= n_2\sin\theta_2 \\ & = n_2\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta_1\right) \\ & = n_2\cos\theta_1 \\ \frac{n_2}{n_1} &= \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} \\ &=\tan\theta_1 \end{align*}\]となる。この角度 \(\theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\) をブリュースター角と呼び、 \(\theta_B\) 書く。ブリュースター角 \(\theta_B\) では反射が0となり入射した波すべてが透過する。
全反射の条件
ブリュースター角は反射がゼロになる条件であった。
そのうち書く。