まえがき

光ファイバは非常に細いガラスの繊維でできている。断面を観察すると中心部にコア、コアを覆うようにクラッドから構成されており、コアとクラッドは屈折率の異なる素材になっている。コアに入射された光はクラッドとの境界面で全反射することで外部に漏れ出さずに出力端に向かって進んでいく。光ファイバの原理はこのように説明されることが多いが、そのファイバ内部で電磁界の形はどのようになるのだろうか?、クラッドに光が漏れ出すことはないのだろうか?このような疑問に先程の説明は答えてくれていない。

このような疑問を解決するためにマクスウェル方程式を解いて、光ファイバ内の電磁界がどのようになるのか見ていこうと思う。ただ、光ファイバは円筒形をしており、これを解くには円筒座標系の波動方程式を扱う必要がある。ちょっとめんどくさいので、直交座標系のまま扱える3層スラブ導波路というものを考える。この3層スラブ導波路は計算が簡単の割にたくさんの示唆に富む情報を私達に与えてくれるし、光ファイバの理解を助けてくれる。

3層スラブ導波路

今回計算する3層スラブ導波路は図(そのうち書く)のような形をしている。コアとなる材料(薄い板)をそれより屈折率の大きなクラッドで挟み込んだ構造である。以下の様な条件で解析を行う。

解析手順

まずはじめに条件から電磁波の形を考えて、

\[\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} &\vec{E} = E_s\left(x, y\right)\exp\left\{j\left(\omega t - \beta z\right)\right\} \\ &\vec{H} = H_s\left(x, y\right)\exp\left\{j\left(\omega t - \beta z\right)\right\} \end{aligned} \right. \end{equation*}\]

と仮定する。この2つの式をマクスウェル方程式、

\[\begin{align*} & \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ & \nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{align*}\]

に代入する。外積なので、3つの成分に分解して表すことができる。両方とも計算してみると、

\[\begin{align*} \left\{\begin{aligned} \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} &= -\mu_0\frac{\partial H_x}{\partial t} \\ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} &= -\mu_0\frac{\partial H_y}{\partial t} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} &= -\mu_0\frac{\partial H_z}{\partial t} \\ \end{aligned} \right.\\ \left\{\begin{aligned} \frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z} &= -\varepsilon_i\frac{\partial E_x}{\partial t} \\ \frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x} &= -\varepsilon_i\frac{\partial E_y}{\partial t} \\ \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} &= -\varepsilon_i\frac{\partial E_z}{\partial t} \\ \end{aligned} \right. \end{align*}\]

のような6本の方程式が導かれる。この微分について考えてみる。今 \(x\) 方向は一様なので、\(x\) 方向に関する微分、

\[\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial x } = 0 \end{equation*}\]

となる。 \(z\) 方向と時間方向の微分は \(\exp\left\{j\left(\omega t - \beta z\right)\right\}\) を考えるので、

\[\begin{align*} &\frac{\partial}{\partial z} = -j\beta \\ &\frac{\partial}{\partial t} = j\omega \end{align*}\]

となる。この関係を上記の6本の式に代入すると、

\[\begin{align*} &\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial E_z}{\partial y} + j\beta E_y = -j\omega\mu H_x \\ &-j\beta E_x = -j\omega\mu H_y \\ &-\frac{\partial E_x}{\partial y} = -j\omega\mu H_z \end{aligned} \right.\\ &\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial H_z}{\partial y} + j\beta H_y = j\omega\varepsilon_i E_x \\ &-j\beta H_x = j\omega\varepsilon_i E_y \\ &-\frac{\partial H_x}{\partial y} = j\omega\varepsilon_i E_z \end{aligned} \right. \end{align*}\]

となる。この6本の式を以下のように組み合わせを替えてみる。

\[\begin{align*} &\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial E_z}{\partial y} + j\beta E_y = -j\omega\mu H_x \\ &-j\beta H_x = j\omega\varepsilon_i E_y \\ &-\frac{\partial H_x}{\partial y} = j\omega\varepsilon_i E_z \end{aligned} \right.\\ &\left\{\begin{aligned} &-j\beta E_x = -j\omega\mu H_y \\ &-\frac{\partial E_x}{\partial y} = -j\omega\mu H_z \\ &\frac{\partial H_z}{\partial y} + j\beta H_y = j\omega\varepsilon_i E_x \end{aligned} \right. \end{align*}\]

違いがわかりにくいかもしれないが、上は \(E_z, E_y, H_x\) の組み合わせでまとめてあり、下は \(H_z, H_y, E_x\) の組み合わせでまとめてある。 \(E_z, E_y, H_x\) の組み合わせ(上の方程式)では磁界は \(x\) 成分のみで、進行方向( \(z\) 軸方向)への成分は有していない。このような磁界が断面方向の成分しか有さない電磁波を Transvers Magnetic wave (TM波) という。もう一方の \(H_z, H_y, E_x\) の組み合わせでは、断面方向の成分は電界だけなので、このような電磁波を Transvers Electric wave (TE波) という。

それではTE波について見ていく。TE波の方程式は、

\[\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &-j\beta E_x = -j\omega\mu H_y \\ &-\frac{\partial E_x}{\partial y} = -j\omega\mu H_z \\ &\frac{\partial H_z}{\partial y} + j\beta H_y = j\omega\varepsilon_i E_x \end{aligned} \right. \end{equation}\]

のように表された。上の2つの式を、

\[\begin{align*} & H_y = \frac{\beta}{\omega\mu_0}E_x \\ & H_z = -\frac{j}{\omega\mu_0}\frac{\partial E_x}{\partial y} \end{align*}\]

のように変形する。両方とも \(H_z\) 、 \(H_y\) についての式になっているので、一番下の式に代入することで、 \(E_z\) のみの微分方程式に変形することができる。代入すると、

\[\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{j}{\omega\mu_0}\frac{\partial}{\partial y}E_x\right) + j\beta\frac{\beta}{\omega\mu_0}E_x &= j\omega\varepsilon_i E_x \\ -\frac{j}{\omega\mu_0}\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{j}{\omega\mu_0}\beta^2 E_x &= j\omega\varepsilon_i E_x \\ \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} - \beta^2 E_x &= - \omega^2\varepsilon_i\mu_0 E_x \\ \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \left( \omega^2\varepsilon_i\mu_0 - \beta^2\right)E_x &= 0 \end{align*}\]

となる。この方程式を解く前にもう少し整理するために、真空中の波数 \(k_0\) を \(\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\) とおく。また、 \(\varepsilon_i = n_i^2\varepsilon_0 (i = 1,2,3)\) であり、 \(\mu_0 = 1\) であるから、解くべき方程式は、

\[\begin{equation*} \frac{\partial^2E_x}{\partial y^2} + \left(k_0^2 n_i^2- \beta^2\right) E_x = 0 \end{equation*}\]

のように表される。

それではこの微分方程式を解くことで、TE波の電界の形を考えていく。3つの領域に分けて考えると、解は

\[\begin{equation*} E_x = \begin{cases} A\cos\left(\gamma y + \phi\right) & (0 \leq y \leq a ) \\ B^+ \exp\left(-\chi_2 y\right) + B^-\exp\left(+\chi_2 y \right) & (a \leq y) \\ C^+\exp\left(\chi_3 y\right) + C^-\exp\left(+\chi_3 y\right) & (y \leq 0) \\ \end{cases} \end{equation*}\]

のようになる。 ただし、\(\gamma, \chi_2, \chi_3\) は、

\[\begin{align*} &\gamma^2 = k_0^2 n_1^2 - \beta^2 \\ &\chi_2^2 = \beta^2 - k_0^2 n_2^2 \\ &\chi_3^3 = \beta^2 - k_0^2n_3^2 \end{align*}\]

である。 また、 \(A, B, C, \phi\) が境界条件で決めていく定数である。まずはじめにクラッドの端 ( \(y=\pm\infty\) )での条件を考えていく。 \(y=\pm\infty\) では、 \(E_x \to 0\) となる必要がある。したがって、\(\chi_2, \chi_3 \>\) より、

\[\begin{equation*} B^- = C^+ = 0 \end{equation*}\]

となる。

次にコアとクラッドの境界での条件を考えていく。境界では電界と磁界の接線成分が連続でなければならない。したがって、 \(E_x\) と \(H_z\) は境界でつながっている。まず \(E_x\) について見ていく。 \(y=a\) で \(E_x\) が連続になるので、

\[\begin{equation*} A\cos\left(\gamma a+ \phi\right) = B^+\exp\left(-\chi_2 a\right) \end{equation*}\]

となる。同様に \(y=a\) では、

\[\begin{equation*} A\cos\left(\phi\right) = C^- \end{equation*}\]

となる。この2つから \(E_x\) は、

\[\begin{equation*} E_x \left(y\right) = \begin{cases} A\cos\left(\gamma a + \phi\right) \exp\left(-\chi_2\left(y - a\right)\right) & (a \leq y) \\ A\cos\left(\gamma y + \phi\right) & (0 \leq y \leq a) \\ A\cos\left(\phi\right)\exp\left(\chi_3 y\right) & (y \leq 0) \end{cases} \end{equation*}\]

となる。 \(A\) は入射した波の振幅になるので、ここではこれ以上考えない。 次に磁界について考えていく。磁界については、

\[\begin{equation*} \frac{\partial E_x}{\partial y} = j\omega\mu_0 H_z \end{equation*}\]

に \(E_x\) を代入することで、

\[\begin{equation*} H_z\left(y\right) = \frac{A}{\omega\mu_0}\begin{cases} \chi_2 \cos\left(\gamma a + \phi\right)\exp\left(-\chi_2\left(y-a\right)\right) & (a \leq y) \\ \gamma \sin\left(\gamma y + \phi\right) & (0 \leq y \leq a) \\ -\chi_3\cos\left(\phi\right)\exp\left(\chi_3 y\right) \end{cases} \end{equation*}\]

となる。磁界についても境界条件から、 \(y=0, a\) で \(H_z\) が連続なので、

\[\begin{align*} &H_z(a) = \chi_2 \cos\left(\gamma a + \phi\right) = \gamma\sin\left(\gamma a + \phi\right) \\ &H_z(0) = \gamma\sin\left(\phi\right) = -\chi_3\cos\left(\phi\right) \end{align*}\]

の2式が得られる。この2式から、

\[\begin{align*} &\frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} = -\frac{\chi_3}{\gamma} \\ &\phi = -\tan^{-1}\left(\frac{\chi_3}{\gamma}\right) \\ &\frac{\chi_2}{\gamma} = \frac{\sin\left(\gamma a + \phi\right)}{\cos\left(\gamma a + \phi\right)} \\ &\gamma a + \phi = \tan^{-1}\left(\frac{\chi_2}{\gamma}\right) \\ &\gamma a = \tan^{-1}\left(\frac{\chi_2}{\gamma}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\chi_3}{\gamma}\right) \end{align*}\]

となる。 \(\tan^{-1}\) の範囲を \(-\frac{\pi}{2}\sim\frac{\pi}{2}\) に取ると、最後の式は、

\[\begin{equation} \gamma a = \tan^{-1}\left(\frac{\chi_2}{\gamma}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\chi_3}{\gamma}\right) + m\pi \end{equation}\]

となる。ここで \(m\) は \((0,1,2\cdots)\) である。この式を特性方程式、または固有値方程式という。これを解くことで \(\gamma\) と \(\chi\) が決まる。 \(\gamma\) は \(m\) により決まり、離散的な値をとる。つまり電磁界の形も \(m\) により決まる。 \(m\) に対応した電磁界分布をモードと呼ぶ。 \(m=0\) の電磁界分布を基本モードと呼び、 \(m>0\) を高次モードと呼ぶ。